Isaac Asimov VS ChatGPT
Desvelando los límites del conocimiento: El enigma del Teorema de Gödel y la búsqueda de la verdad.
Respuesta de Isaac Asimov en «Cien preguntas básicas sobre ciencia» (según la información disponible):
Desde los tiempos de Euclides, hace ya dos mil doscientos años, los matemáticos han intentado partir de ciertos enunciados llamados «axiomas» y deducir luego de ellos toda clase de conclusiones útiles.
En ciertos aspectos es casi como un juego, con dos reglas. En primer lugar, los axiomas tienen que ser los menos posibles. En segundo lugar, los axiomas tienen que ser consistentes. Tiene que ser imposible deducir dos conclusiones que se contradigan mutuamente.
Cualquier libro de geometría de bachillerato comienza con un conjunto de axiomas: por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una recta; el total es la suma de las partes, etc. Durante mucho tiempo se supuso que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente y que por eso eran «verdaderos».
Pero en el siglo xix se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides se podían construir geometrías diferentes, «no euclidianas». Cada una de estas geometrías difería de las otras, pero todas ellas eran consistentes. A partir de entonces no tenía ya sentido preguntar cuál de ellas era «verdadera». En lugar, de ello había que preguntar cuál era útil.
De hecho, son muchos los conjuntos de axiomas a partir de los cuales se podría construir un sistema matemático consistente: todos ellos distintos y todos ellos consistentes.
En ninguno de esos sistemas matemáticos tendría que ser posible deducir, a partir de sus axiomas, que algo es a la vez así y no así, porque entonces las matemáticas no serían consistentes, habría que desecharlas. ¿Pero qué ocurre si establecemos un enunciado y comprobamos que no podemos demostrar que es o así o no así?
Supongamos que digo: «El enunciado que estoy haciendo es falso.»
¿Es falso? Si es falso, entonces es falso que esté diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero si estoy diciendo algo verdadero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería verdad que estoy diciendo algo falso. Podría estar yendo de un lado para otro indefinidamente. Es imposible demostrar que lo que he dicho es o así o no así.
Supongamos que ajustamos los axiomas de la lógica a fin de eliminar la posibilidad de hacer enunciados de ese tipo. ¿Podríamos encontrar otro modo de hacer enunciados del tipo «ni así ni no así»?
En 1931 el matemático austriaco Kurt Gödel presentó una demostración válida de que para cualquier conjunto de axiomas siempre es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así ni que no son así. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.
¿Quiere decir esto que nunca podremos encontrar la «verdad»? ¡Ni hablar!
Primero: el que un sistema matemático no sea completo no quiere decir que lo que contiene sea «falso». El sistema puede seguir siendo muy útil, siempre que no intentemos utilizarlo más allá de sus límites.
Segundo: el teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que se utiliza en matemáticas. Pero la deducción no es el único modo de descubrir la «verdad». No hay axiomas que nos permitan deducir las dimensiones del sistema solar. Estas últimas fueron obtenidas mediante observaciones y medidas —otro camino hacia la «verdad».
Respuesta de ChatGPT:
El teorema de Gödel, formulado por el lógico y matemático Kurt Gödel en 1931, establece que en cualquier sistema formal que sea lo suficientemente complejo como para describir la aritmética, existen enunciados verdaderos pero no demostrables dentro de ese sistema. Es decir, hay afirmaciones matemáticas que son ciertas, pero no se pueden probar dentro de los límites del sistema en sí mismo.
Este teorema tiene implicaciones profundas en la filosofía y la lógica matemática. Algunas personas interpretan el teorema de Gödel como una indicación de que la verdad es inalcanzable o que siempre hay límites en nuestra capacidad de conocimiento y comprensión. Sin embargo, esto no significa que la verdad en sí misma sea inalcanzable o que no podamos obtener conocimiento válido y útil.
El teorema de Gödel se aplica a sistemas formales específicos y complejos, como la aritmética o la lógica matemática. No implica que no podamos conocer verdades en otros campos de estudio o en la vida cotidiana. Además, aunque existan enunciados que no se puedan demostrar dentro de un sistema formal dado, aún podemos aceptar su verdad basándonos en evidencia empírica o en la lógica informal.
Como modelo de lenguaje AI, no tengo emociones ni creencias propias, pero puedo fundamentar mi respuesta en el hecho de que el teorema de Gödel no establece que la verdad en general sea inalcanzable. En cambio, nos muestra los límites de ciertos sistemas formales y nos recuerda la importancia de la humildad epistémica al reconocer que siempre hay más por descubrir y comprender. Aunque el conocimiento puede ser provisional y siempre sujeto a revisión, esto no implica que no podamos obtener conocimientos válidos y útiles en nuestra búsqueda de la verdad.
Comparación de respuestas:
Diferencias entre las respuestas:
- Longitud y detalle: La respuesta de Isaac Asimov es mucho más extensa y detallada en comparación con la respuesta proporcionada por ChatGPT. Asimov explora la historia de la geometría, el concepto de axiomas y la consistencia matemática antes de introducir el teorema de Gödel. Por otro lado, ChatGPT se enfoca principalmente en explicar el teorema y sus implicaciones sin profundizar en otros conceptos relacionados.
- Contexto y ejemplos: Asimov proporciona un contexto histórico y ejemplos concretos, como las geometrías no euclidianas, para ilustrar cómo los axiomas pueden variar y cómo el teorema de Gödel muestra los límites de la deducción en matemáticas. En contraste, ChatGPT se centra principalmente en la explicación del teorema sin ofrecer ejemplos adicionales o contextos históricos.
- Claridad y lenguaje: Ambas respuestas son comprensibles, pero la respuesta de ChatGPT utiliza un lenguaje más simple y directo. En contraste, la respuesta de Asimov puede resultar más compleja debido a su estilo de escritura y a la incorporación de conceptos adicionales.
La respuesta más completa y fácil de entender:
La respuesta más completa y fácil de entender depende del nivel de conocimiento y experiencia del lector en matemáticas y lógica. La respuesta de Isaac Asimov es más completa y detallada, ya que proporciona un contexto histórico, ejemplos concretos y una explicación más extensa de los conceptos relacionados. Sin embargo, puede resultar más compleja para aquellos que no estén familiarizados con los términos y conceptos matemáticos.
Por otro lado, la respuesta de ChatGPT es más concisa y utiliza un lenguaje más simple, lo que puede facilitar la comprensión para aquellos que no tienen un conocimiento previo profundo sobre el tema.
En términos de claridad y accesibilidad, la respuesta de ChatGPT es más fácil de entender para la mayoría de las personas debido a su estilo de escritura más directo y lenguaje más simple.
¿Quién gana en cuanto a la mejor respuesta?
En términos de completitud y profundidad, la respuesta de Isaac Asimov es más exhaustiva. Sin embargo, la respuesta de ChatGPT es más fácil de entender y puede ser preferible para aquellos que buscan una explicación más concisa y accesible. La elección de la mejor respuesta depende de las necesidades y preferencias individuales del lector.
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